前面建立的UMpHMP模型是NP-hard問題，目前沒有有效的算法。為了減少計算時間，Ernst和Krishnamoorthy(1998a，1998b)為樞紐網(wǎng)絡建立了三下標的 數(shù)學模型，大大減少了變量和約束的個數(shù)，提高了求解的效率。 這個模型不采用流量的比例作為流變量，而直接用流量為流變量，并對匯運、 轉(zhuǎn)運和分運分別設置不同的變量。

     令Z4為OD流的匯運流變量，即從始發(fā)地機 場i到樞紐機場k的流量，Ya是從輪輻機場i運出的轉(zhuǎn)運流量，X是O-D對(i，j) 從樞紐機場l分運到目的地j的流量，再令O是從始發(fā)地機場i運出的總流量， N={1,2,…，n}是機場集合，則三下標樞紐網(wǎng)絡優(yōu)化模型如下； minC[2xCaZx+22aCuYu+22oC,x, O.表示起始于機場i的流量，因此二W，=0；式（3-15)表示共有p個樞 紐；式（3-16）~式（3-18）是流量平衡方程，保證所有的O-D流全部由起始機場到目的地機場，其中式（3-16）表示從始發(fā)機場i出發(fā)，經(jīng)過分配連接到各樞紐機場 的匯運流量之和必須等于O，式（3-17）表示O-D對（i，j）經(jīng)過各樞組機場l中轉(zhuǎn) 后分運到目的地機場j的流量之和必須等于W，，式（3-18）表示從始發(fā)地機場i運 出的流量，在樞紐機場k中轉(zhuǎn)的運進流量必須等于運出流量；式（3-19）表示從始發(fā) 機場i出發(fā)，經(jīng)航節(jié)i→k匯運時，k一定是樞紐城市，式（3-20）表示如果O-D對(i、 j)經(jīng)過機場l中轉(zhuǎn)分運到目的地機場j，l一定是樞紐；式（3-21）表示流變量是非 負變量，式（3-22）要求y；是0-1型變量。 這個模型盡管采用了三下標變量，但任一O-D對仍然至多經(jīng)過匯運、轉(zhuǎn)運和 分運等三個航節(jié)完成運輸任務，因此最多兩次中轉(zhuǎn)。

     變量數(shù)從四下標的O（n1)個 減少為O（n3)個。如果n=100，那么流變量數(shù)從1億個減少到100萬個。約束條 件數(shù)從四下標模型的（2n3+n2+1）減少到三下標模型的(n3+3n2+n+1)，當n= 100時，四下標模型大約有201萬個，三下標模型大約有103萬個?？梢?，三下標 模型的規(guī)模確實下降不少。 例3-4在例3-3同樣的條件下，采用三下標模型對樞紐航線網(wǎng)絡進行優(yōu)化 設計。構建三下標模型如下： 同樣應用ILOG/CPLEX求解上述模型，得到的結果為：y2=y；=1，即以北京 和廣州作為樞紐；最優(yōu)的總成本是950364元，這與四下標模型得到的結果相同；流 變量的解如下：Z2=106，Z2=354,Z2=97，Za=46，Z46=22，Z4s=231，Z2=63， 模型中一共有331個約束條件和474個變量。與四下標模型比較可以發(fā)現(xiàn)， 無論是約束條件數(shù)、變量數(shù)還是運算時間，三下標模型都小于四下標模型。當問題 的規(guī)模進一步擴大后，這一點將會更加明顯。