前面建立的UMpHMP模型是NP-hard問題，目前沒有有效的算法。為了減少計(jì)算時(shí)間，Ernst和Krishnamoorthy(1998a，1998b)為樞紐網(wǎng)絡(luò)建立了三下標(biāo)的 數(shù)學(xué)模型，大大減少了變量和約束的個(gè)數(shù)，提高了求解的效率。 這個(gè)模型不采用流量的比例作為流變量，而直接用流量為流變量，并對(duì)匯運(yùn)、 轉(zhuǎn)運(yùn)和分運(yùn)分別設(shè)置不同的變量。

     令Z4為OD流的匯運(yùn)流變量，即從始發(fā)地機(jī) 場i到樞紐機(jī)場k的流量，Ya是從輪輻機(jī)場i運(yùn)出的轉(zhuǎn)運(yùn)流量，X是O-D對(duì)(i，j) 從樞紐機(jī)場l分運(yùn)到目的地j的流量，再令O是從始發(fā)地機(jī)場i運(yùn)出的總流量， N={1,2,…，n}是機(jī)場集合，則三下標(biāo)樞紐網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型如下； minC[2xCaZx+22aCuYu+22oC,x, O.表示起始于機(jī)場i的流量，因此二W，=0；式（3-15)表示共有p個(gè)樞 紐；式（3-16）~式（3-18）是流量平衡方程，保證所有的O-D流全部由起始機(jī)場到目的地機(jī)場，其中式（3-16）表示從始發(fā)機(jī)場i出發(fā)，經(jīng)過分配連接到各樞紐機(jī)場 的匯運(yùn)流量之和必須等于O，式（3-17）表示O-D對(duì)（i，j）經(jīng)過各樞組機(jī)場l中轉(zhuǎn) 后分運(yùn)到目的地機(jī)場j的流量之和必須等于W，，式（3-18）表示從始發(fā)地機(jī)場i運(yùn) 出的流量，在樞紐機(jī)場k中轉(zhuǎn)的運(yùn)進(jìn)流量必須等于運(yùn)出流量；式（3-19）表示從始發(fā) 機(jī)場i出發(fā)，經(jīng)航節(jié)i→k匯運(yùn)時(shí)，k一定是樞紐城市，式（3-20）表示如果O-D對(duì)(i、 j)經(jīng)過機(jī)場l中轉(zhuǎn)分運(yùn)到目的地機(jī)場j，l一定是樞紐；式（3-21）表示流變量是非 負(fù)變量，式（3-22）要求y；是0-1型變量。 這個(gè)模型盡管采用了三下標(biāo)變量，但任一O-D對(duì)仍然至多經(jīng)過匯運(yùn)、轉(zhuǎn)運(yùn)和 分運(yùn)等三個(gè)航節(jié)完成運(yùn)輸任務(wù)，因此最多兩次中轉(zhuǎn)。

     變量數(shù)從四下標(biāo)的O（n1)個(gè) 減少為O（n3)個(gè)。如果n=100，那么流變量數(shù)從1億個(gè)減少到100萬個(gè)。約束條 件數(shù)從四下標(biāo)模型的（2n3+n2+1）減少到三下標(biāo)模型的(n3+3n2+n+1)，當(dāng)n= 100時(shí)，四下標(biāo)模型大約有201萬個(gè)，三下標(biāo)模型大約有103萬個(gè)?？梢?，三下標(biāo) 模型的規(guī)模確實(shí)下降不少。 例3-4在例3-3同樣的條件下，采用三下標(biāo)模型對(duì)樞紐航線網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化 設(shè)計(jì)。構(gòu)建三下標(biāo)模型如下： 同樣應(yīng)用ILOG/CPLEX求解上述模型，得到的結(jié)果為：y2=y；=1，即以北京 和廣州作為樞紐；最優(yōu)的總成本是950364元，這與四下標(biāo)模型得到的結(jié)果相同；流 變量的解如下：Z2=106，Z2=354,Z2=97，Za=46，Z46=22，Z4s=231，Z2=63， 模型中一共有331個(gè)約束條件和474個(gè)變量。與四下標(biāo)模型比較可以發(fā)現(xiàn)， 無論是約束條件數(shù)、變量數(shù)還是運(yùn)算時(shí)間，三下標(biāo)模型都小于四下標(biāo)模型。當(dāng)問題 的規(guī)模進(jìn)一步擴(kuò)大后，這一點(diǎn)將會(huì)更加明顯。